广西大学学报（哲学社会科学版）

参考文献

(1)黑格尔：《精神现象学（上卷）》，贺麟、王玖兴译，北京：商务印书馆，1979年(下简称“中译本·上卷”)：正文（下同）第28页；Hegel, Ph?nomenologie des Geistes. Hamburg:Felix Meiner Verlag, 1988（下简称“德文本”），S. 33，第13行。这里及下文中的“概念”（Bergriffe）一词，笔者是在黑格尔《精神现象学》序言部分对该语汇的意义上来使用的。关于“概念”的意涵，可参看中译本·上卷第22页；德文本S. 27第11—20行中的有关论述。这部分原文的大意，笔者试述如下：思想要从具体事物“纯然具体”的纯粹确定性上抽象出来，形成运动起来了的“纯粹思维”。而“纯粹思维”又不能停留在其内部“不同内容的固定性”，从而达到“概念”。诚如黑格尔所说，这种纯粹思维中的固定性分有了“自我的无条件性”（Sichselbstsetzens，中译本·上卷，第22页；德文本S. 27，第15行），亦即在我们的观念中：“我就是我，我决不可能是你！”这个随普通人之成长而日益明确的结论。在纯粹思维对具体事物的把握中，也存在着诸如形式逻辑里的“排中律”等类似的、不同内容间的固定性——即绝对的差异性。如在数学中，“1”绝不能等于“2”，或我们说“观念”“理论”就必然且必需因其抽象性和单纯性的自身规定性，而藐视“事物自身”的丰富、差异。

(2)这里及下文中的“科学”（Wissenschaft，亦译“学问”“学术”）也是在黑格尔《序言》里的意义上使用的。他在《序言》第5段（中译本·上卷，第3-4页；德文本S. 6，第10-27行）开头中称：真理的科学体系才是真理的真样态。而他随即宣告：他要“促使哲学接近科学的形式”，使哲学由“对知识的爱”变成“真实的知识”。并且，黑格尔声称“知识即是科学”，作为“真实的知识”的哲学应该成为科学，这通过（该书下文中）对哲学自身的体系性的展示、呈现将予以摆明。但笔者注意到，“Wissenschaft”毕竟不能完全等同于20世纪以来国人作为“赛先生”（英文“Science”）引进之近代科学革命后的“科学”概念。“Science”虽据说于14世纪衍生自拉丁语“Scientia”一词（即“知识”“学问”），但其开始具备我们当下日常用语的“科学”意义，则是在近代科学革命以后。其具体情况，有待进一步考察。暂可参李醒民：《“科学”和“技术”的源流》，《河南社会科学》2007年第5期。

(1)而非像自然科学诉诸主客截然二分后，由主体出发“考察”自然或自我形成的“事实-观念符合论”意义上的知识、真理。

(2)即黑格尔所说的区别于“内在的数学（Die immanente Mathematik）”/“纯粹数学（Die reine[Mathematik]）”的“应用数学（Die angewandte[Mathematik]）”。详见中译本·上卷第29页中同一自然段；德文本：S. 34第8、10行。

(3)中译本·上卷，第26-32页；德文本Ss. 31-36。

(4)王玖兴先生将黑格尔这里的德文术语“Verh?ltnis”（德文本S. 36，第17行）译为“关系”。笔者结合上下文意，认为此处若将“Verh?ltnis”取本意直译为“比例”，便更能使我们明了“纯粹数学”及“应用数学”的学科特点——高度重视对数量大小之考察、比较——即“比例”，并以这种明确的比例关系作为其基本研究方式及最终目的。

(5)黑格尔此处对数学处理空间材料方式的剖析，庄振华教授近著《〈精神现象学〉义解》对此有生动解读，此处不赘。参见庄振华：《〈精神现象学〉义解》（上卷），北京：中国人民大学出版社，2019年，第105-106页。

(6)见中译本·上卷：第31页。这里的“一”德语原文为“Eins”（德文本S. 36，第18行）。“Eins”的原意就是我们日常数（shǔ）数时所说“一、二、三、四、五”中那个数字“一”，在《精神现象学》英译本（Hegel, Phenomenology of spirit,Paperback ed. Tr. by A V Miller. Oxford:Oxford University Press, 1979，下简称“英译本”）中则译为：“numerical unit”（英译本p.27），即“计数单位”“数量单位”。笔者认为英译者的这种理解——即“一”在这里被黑格尔用以指代数学中数量关系里最基本的那个计数单位——是合理的，理由如下：在传统数学里，一旦涉及量的问题，量与量之间的差异只能通过这些彼此间同一的“计数单位”才能体现。无论是在“自然等差数列”（如“1、2、3、4……”）中的基本计数单位——即公差“1”，还是我们在以2为公差推广开去“数（shǔ）数”（比如“2、4、6、8、10……”）中的那个公差“2”，还是在诸如十分位上的等差数列（如“0.9、0.8、0.7、0.6……”）中的非自然数的公差“0.1”，甚或是在我们构造一个以自然数列为其前后项差值的非等差数列（例如非等差数列“1、2、4、7、11、16……”，其前后项的差并非固定的“等差”，而是以此为一自然数列“1、2、3、4、5……”。其项差“an+1-an”与项数“n”之间的关系可表示为：“an+1-an=n，且n为自然数”）……但只要我们是在数列之中，或更直白地说，只要我们在依着某种规律“数（shǔ）数”，则一个数与后一个数之间总是要加入一个普遍的什么（诸如前面的公差1、2、0.1和n），以使“数”能从前到后一直数（shǔ）下去。而这个作为数列中各项连接者和大小比例关系的评判者的“什么”，恰恰是一种在最抽象意义上同一的、均质的东西，即“量”。而因为这种“量”或“数量单位”在前述等差或非等差数列的例子中，要么在直接的现实中就是同一的（等差），要么在抽象的意义上也是同一的（亦即项差为变量n，但n作为自然数列中的一项，亦服从自然数的规律）。故而，我们用“一”来表示这种数量关系中“量”自身的同一性是很自然的。在笔者看来，黑格尔在其他地方所说的“数量关系”或“数量的原则”，其真正所指的也就是这种使数目之间能比较其大小关系的“量”，其固有的无差别的同一性。那么，数学发展至今，能否回避前述“量”的思维方式呢？是否同样不能逃脱前述这种均质的计数单位，即“量”的无差别的同一性？【现代数学中的“皮亚诺算数公理”“哥德尔不完全性定理”似在一定程度上回应了黑格尔的批判。对这些数学新知的系统介绍，略见[美]欧内斯特·内格尔、詹姆士·R·纽曼：《哥德尔证明》，陈东威，连永军译，北京：中国人民大学出版社，2008年；[美]雷蒙德·M.斯穆瑞安：《哥德尔不完全性定理》，余俊伟译，北京：科学出版社，2019年。庄振华教授论文《试论数学话语的霸权》第一节认为，哥德尔定理打碎了数学逻辑的体系自足性。参见庄振华：《试论数学话语的霸权》，《云南大学学报（社会科学版）》2004年第5期。哥德尔晚年对数本质的哲学探究，暂见倪梁康：《心目——哥德尔的数学直觉与胡塞尔的观念直观》，《学术研究》2015年第4期；倪梁康：《哥德尔与胡塞尔：观念直观的共识》，《广西大学学报（哲学社会科学版）》2015年第4期；倪梁康：《何谓本质直观——意识现象学方法谈之一》，《学术研究》2020年第7期。但应该说，只要迄今为止数学仍无法避免以这种数量关系开展其自身的工作，则数学家们就理应重视这种量化的思维方式所始终具有的无差别性和同一性。一旦这种思维越出纯粹数学的思想领域而指向现实，即指向事情本身、人本身时（比如“那片茂密的白桦林被伐倒”被表述为“839棵树被砍倒”；“那个穿红裙子的姑娘”被表述为“1个人”），固然经由前述同质的数量关系，数学达到了令其引以为傲地对事物描述、概括的简洁明了，但这是以忽略掉现实具体事物各种富于生命的因素而实现的（比如此前的例子中，我们的数量表述或忽略了被伐倒的一棵棵树高矮粗细的不同，或忽略了姑娘的美丽……总之，忽略了事物与人本身真实、整全的情态）。因而数学的数量关系对世界的这种把握也只能是片面的，非整全的。故而数学有必要接受对其思维方式之本质的严肃考察，并由此也应接受对其适用范围的同样审视。

(1)“但是，我们不难看出，象提出一个命题，替它找出理由根据，并以理由来驳斥反对命题这样的做法，并不是表达真理的方式。真理是它在其自身中的运动；但上述的方法却是外在于材料的一种认识。因此，这种方法是数学所独有的方法，并且必须听任数学自己去使用它；因为数学，如我们所已注意到的，是以数量的无概念的关系为其原理，并以僵死的空间和同样僵死的一为其材料的。”见中译本·上卷，第31页；德文本S. 36，第10-19行。“但是不难看出，那种先建立一个命题然后做出证明，并以同样的命题来反驳另一个证明的做法，并不适合用来表达真理。真理是一种盘桓于它自身之内的运动，但那个方法只是游离于材料之外的认识活动。就此而言，这是数学独有的方法，而且必须交给数学来保存，因为正如我们已经指出的，数学把无概念的分量关系当作它的原则，把僵死的空间和同样僵死的单一体当作它的材料。”参见黑格尔：《精神现象学》，先刚译，北京：人民出版社，2013年，第30页。

(2)中译本·上卷，第27页；德文本S.31，第32-34行。

(3)中译本·上卷，第28页；德文本S. 33，第3-6行。黑格尔在该自然段举了几何证明中做辅助线时有任意种可能的例子。

(4)中译本·上卷，第27页；德文本S. 32，第1行。

(5)中译本·上卷，第28页；德文本S. 33，第7-12行。

(6)中译本·上卷，第28页；德文本S. 33，第12-16行。

(1)中译本·上卷，第28页；德文本S. 33，第16-24行。

(2)用黑格尔下文的话来解释就是：“数量的原则（das Prinzip der Gr??e），即无概念的差别的原则和同一性原则，即抽象的无生命的统一性的原则”。（中译本，上卷，第30页；德文本S. 34，第30行。其中“数量的原则”一语，本文以下简称为“数量原则”。）综上所述我们不难看到，数学所倚重的数量关系也许真如黑格尔所言，是“非现实的东西，无论具体感性直观，或是哲学，都不去跟它打交道的”。（中译本，上卷，第28页；德文本S. 33，第22-24行）。这句话也就是说，包罗万象的生活自身和真正通情达理的哲学都不会接受“数量原则”无条件、无节制的摆布。

(3)中译本·上卷，第28-29页；德文本Ss. 33-34，第38行至次页第2行。

(4)中译本·上卷，第29页；德文本S. 34，第12-14行间。

(5)中译本·上卷，第29页；德文本S. 34，第21行。

(6)中译本·上卷，第29-30页；德文本S. 34，第29-30行，第35-36行，第9行。其中，“数学认识”，黑格尔以“das Erkennen”指代。见德文本S. 34，第35行。

(7)中译本·上卷，第30页；德文本S. 34，第32行，第33-34行，第34-35行，第37-38行。

(8)中译本·上卷，第10页，《序言》第二部分原编者加的小标题。

(1)中译本·上卷，第21-22页；德文本S. 26，第3-39行。

(2)详见本文第三节。

(3)计算机及“可计算性”的普及和后果，有待具体学科深究。

(4)法国飞行员、作家圣埃克絮佩里著名童话《小王子》第21节中，狐狸向小王子介绍的所谓“驯化”（法文：apprivoiser。该书中译者之一毕业于复旦大学数学系的周克希先生斟酌后译为“驯养”，详见其《初版译序》《再版译序》）亦涉此题。见圣埃克絮佩里：《小王子》，周克希译，上海：上海译文出版社，2005年。

(5)中译本·上卷，第22页；德文本Ss. 26-27，第39行至次页第4行。

(6)中译本·上卷，第28页；德文本S. 33，第7行，第9-10行。

(7)我们可试以“精—确性”的拆分标示，替换“精确性”的通常表述，前者似更简明。

(1)但人世中的万事万物哪会总是如此泾渭分明的简单呢？

(2)即“非A”。

(3)“准”在汉语里亦有“准绳”之意。

(4)即“定性研究”。

(5)也因而是空洞的。

(6)但并非在其流俗意义上。详见下文。

(7)笔者之所以有意在此用“元素”的“元”而非“原本”的“原”，意在指出数学将事物分解为的那个均等的基本数量单位，是人为构建出来的“元素”。而这种孤立的、彼此相互区别的“元素”因而也是非现实的，它们并非事物的原本、原貌。事情自身原本对于我们人是自在的、直接的在那里的，而之后我们用“数”“分子”“原子”等形式加在其上的“抽象形式”是派生的、外在的。事情原本是那具体生动的存在，而非学说告诉我们的那种抽象形式。

(8)即在“量”的意义上将原本整全的事物打散、抽象为一个个均等的计数单位。

(9)这一用文字表述起来颇为繁难的道理，除了一方面揭示了事情本身的丰富与观念（语词等确定性）的局限外，还同时可用如下一个具体事例、情景形象化地表明：当教师在教孩子加法时，并非一上来就使用数字和符号，而是将任何数字都对应成由“一”开始的一个量。比如当老师教孩子“3+4=7”时，先在珠算计数器的第一横杠上一颗颗地拨出三粒珠子，表示“3”，再在下一个横杠上拨出四粒珠子，表示“4”；最后再在第三根横杠上将珠子一颗颗地拨出三粒作为一组，稍等片刻后，又拨出四粒作为一组。随后，这两组被合并在一起，教孩子还是一颗颗地数，终于数到了“7”。而这一颗颗相同的珠子，无论是在对“3”的表示中还是在对“4”的表示中，乃至对“加和”原则的表述中，都是始终被依赖的元素。这样一粒粒分解、打散开“3+4=7”的计算结果，并串联起其中加和运算自身的珠子，就是正文中笔者所说的“量”。再举一个更简明的例子：比如我们用自然数指认事物，虽然那堆白菜的数量是“10”，这边的一双袜子数量是“2”，但对其加以量化的标准都是统一的自然数基本单位“1”。

(10)比如计数单位是1还是“0.1”等。

(1)关于规律所谓“必然性”的非真实等局限，庄振华教授的论文《黑格尔论规律》（发表于《哲学动态》2017第2期）前引近著《〈精神现象学〉义解》（尤上卷第三章）多有剖析。而对数的本质的探讨，思想史上除了“直觉主义”外，还有其他不同进路。

(2)据笔者对不同幼童“数手指”的屡次观察、回忆，其按手指依次唱念数（shǔ）数时，往往会出现随机的“跳跃”，此时旁人往往会对幼童加以纠正。这一“跳跃”现象及其纠正，这里称为“训练”。

(3)虽然其规律看似由非必然的“不完全归纳法”得出，但须知，号称科学的、必然的“数学归纳法”所依赖的逻辑，恰似这自身未经检验的自然数列的逻辑。所谓“数学归纳法”，是否在本质上，存在自我证明的循环？

(4)但须知：自然数列本身的这种秩序性应该是人一厢情愿赋予的。我们凭什么说“1、2、3、4……”后面一定出现的是“5”呢？如果是“5.1”呢？如果是“-2?”呢？对此我们是无法予以反驳的。只能说，“数（shǔ）数”的这种规律貌似毋庸置疑，但其内部的机制尚待进一步说明。

(5)仅只是在作为“物”（英文：body）的意义上来说的自然和人。

(6)无论是作为个体还是作为类的意义上。即使作为“类”而言，人据说也是迄今为止达到能有高度自我意识的唯一的生物种类。一旦其在这种孤独的图景中规定自身，则其在天地间自然也就那么孤零零地存在着，本与其同在的其他万物于是逐渐隐退。我们若能听懂鸟兽虫鱼的语言该多好。但真的唯有通过“语言”这种太属人、太独特的手段，我们才能与其他诸物沟通？若不经由前注引《小王子》童话中提示的语言之“驯化”“驯养”，我们就真无法在行动和沉默中，与他物沟通吗？原本可能我们多少还是可以的，但在这个高扬理性/逻各斯——实则在高扬人有别于万物的特性——的时代，我们愈发有别于万物，而与其日趋隔膜，以致即将断绝沟通的可能。

(7)以及由这一必然性所提供的非常有局限的、如蒙头鸵鸟般自欺欺人、苟且偷安的确定性与安稳感。